(2019) 120
(2021) 120
Dernier rapport du Jury :
(2020 : 120 - Anneaux Z/nZ. Applications.) Dans cette leçon, après avoir rapidement construit $Z/nZ$, il faut en décrire les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les idéaux. Ensuite, le cas où l’entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice d’Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables.$$$$Les applications sont très nombreuses. Les candidats peuvent, par exemple, choisir de s’intéresser à la résolution d’équations diopantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème RSA. $$$$S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCMde ces éléments. $$$$Enfin, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.
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(2019 : 120 - Anneaux Z/nZ. Applications.) Dans cette leçon, après avoir rapidement construit $Z/nZ$, il faut en décrire les éléments inversibles, les diviseurs de zéro et les idéaux. Ensuite, le cas où l’entier n est un nombre premier doit être étudié. La fonction indicatrice d’Euler ainsi que le théorème chinois et sa réciproque sont incontournables. Les applications sont très nombreuses. Les candidats peuvent, par exemple, choisir de s’intéresser à la résolution d’équations diophantiennes (par réduction modulo n bien choisi) ou bien au cryptosystème RSA. Si des applications en sont proposées, l’étude des morphismes de groupes de $Z/nZ$ dabs $Z/mZ$ ou le morphisme de Frobenius peuvent figurer dans la leçon. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM de ces éléments. Enfin, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$, au logarithme discret, ou à la transformée de Fourier rapide.
(2017 : 120 - Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.) Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$.Il est nécessaire de bien maîtriser le théorème chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le théorème chinois à l’étude du groupe des inversibles et, ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du théorème chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents. Enfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.
(2016 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications) Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l’étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon dedistinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents.Enfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.
(2015 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.) Cette leçon, souvent choisie par les candidats, demande toutefois une préparation minutieuse.Tout d'abord, $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Et pour les candidats plus étoffés, connaître une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d'anneaux, de connaître les automorphismes,les nilpotents, les idempotents...Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ telles que l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l'algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon.
(2014 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.) Cette leçon, plus élémentaire, demande toutefois une préparation minutieuse. Tout d'abord $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $Z/nZ$ et les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles. Distinguer clairement propriétés de groupes additifs et d'anneaux. Connaître les automorphismes, les nilpotents, les idempotents. Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $Z/nZ$, telles l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies.
Développements :
- Théorème chinois et applications
- Quelques cas particuliers du théorème de Dirichlet [ref] [pdf]
- Théorème des restes chinois. Application à l'exo des pirates [ref] [pdf]
- Résolution d'un système de congruence [pdf]
- Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
- Théorème de Wolstenholme [pdf]
- Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
- Le groupe SO2(Fq)
- Systèmes de congruences, cas général
- Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
- Automorphismes de Z/p^aZ
- Test de Miller-Rabin
- Primalité des nombres de Mersenne
- Automorphismes de Z/nZ
- Théorème de Dirichlet faible
- Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
- Théorème de Chevalley-Warning + EGZ
- Nombre de carrés dans Z/nZ [ref] [pdf]
- Le grand théorème de Fermat est faux dans Z/pZ [ref]
- Automorphismes d'un corps cyclotomique [ref] [pdf]
- Théorème des restes chinois effectif [ref] [pdf]
- Théorème de Dirichlet (fort)
- Structure des groupes abéliens finis
- Décomposition des groupes abéliens finis
- Théorème de Sophie-Germain
- Polynômes cyclotomiques sur les corps finis [ref] [pdf]
- Lemme de Zolotarev
- Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
- Groupes d'ordre pq
- Loi de réciprocité quadratique
- Suites récurrentes linéaires : théorie et pratique [pdf]
- Générateurs de Sn [ref]
- Ensembles sans sommes [ref] [pdf]
- Critère d'Eisenstein et application à l'irréductibilité de polynômes cyclotomiques [ref] [pdf]
- Racines de l'unité dans l'extension cyclotomique [ref]
- Racines de l'unité dans Z/nZ [pdf]
- (Z/p^aZ)* est cyclique
- Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Plans/remarques :
2020 : Leçon 120 - Anneaux Z/nZ. Applications.
Plan de Owen
- Auteur :
Owen
- Références :
- Algèbre pour la licence 3, Risler
- Éléments de théorie des groupes, Calais
- Théorie des Groupes, Félix Ulmer
- Algèbre, Gourdon
- Cours d'algèbre, Perrin
- Cours d'arithmétique, Serre
- Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
- Fichier :
- 120 - Anneaux Z.nZ. Applications.pdf
Plan de 20-sided dice
- Auteur :
20-sided dice
- Remarque :
Arnaudiès Fraysse pour la construction de Z/nZ
De Koninck Mercier pour l'arithmétique
Perrin pour les applications sur les polynômes
Une fois que ces 3 références sont trouvées et utilisées, cette leçon devient bcp plus agréable à faire - Références :
- Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse
- Elements d'analyse et d'algèbre, Colmez
- Théorie des Groupes, Félix Ulmer
- Cours d'algèbre, Perrin
- Introduction à la théorie des nombres, De Koninek, Mercier
- Fichier :
- 120 - 20sd.pdf
Plan de F.A.
- Auteur :
F.A.
- Remarque :
Toutes les références sont à la fin du plan.
Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
- Fichier :
- 120 - V1.pdf
Plan de Marvin
- Auteur :
Marvin
- Références :
- Algèbre et géométrie, Combes
- Cours d'algèbre, Perrin
- Éléments de théorie des groupes, Calais
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Fichier :
- Leçon 120.pdf
Plan de Manon DUBOIS
- Auteur :
Manon DUBOIS
- Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
- Références :
- Algèbre, Gourdon
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Algèbre et géométrie, Combes
- Cours d'algèbre, Perrin
- Fichier :
- ZnZ.pdf
Plan de Aurélie BIGOT
- Auteur :
Aurélie BIGOT
- Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Fichier :
- Lecon_120 - Anneaux ZnZ. Applications..pdf
2019 : Leçon 120 - Anneaux Z/nZ. Applications.
Plan de Coquillages & Poincaré
- Auteur :
- Fichier :
- Leçon_120.pdf
Plan de Alexandre
- Auteur :
Alexandre
- Fichier :
- 120.pdf
Plan de abarrier
- Auteur :
abarrier
- Fichier :
- abarrier_L120.pdf
2018 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.
Plan de nitro
- Auteur :
nitro
- Remarque :
Presque achevée
- Références :
- Cours d'algèbre, Perrin
- Fondamentaux d'Algèbre et d'Arithmétique, Dany-Jack Mercier
- Invitation à l'algèbre, Alain Jeanneret et Daniel Lines
- Fichier :
- Lecon120_AnneauxZ_Z_BN.pdf
Plan de Florian Dussap
- Auteur :
Florian Dussap
- Fichier :
- 120_anneau_Zn.pdf
Plan de Inèss
- Auteur :
Inèss
- Fichier :
- Lecon 120.pdf
2017 : Leçon 120 - Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.
Plan de Promo ENSL 2017
- Auteur :
Promo ENSL 2017
- Références :
- Cours d'algèbre, Perrin
- Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
- Algèbre MPSI: cours et 700 exercices corrigés, Monier
- Fichier :
- 2017_120.pdf
Plan de Agnielli
- Auteur :
Agnielli
- Remarque :
Ebauche numérique de plan.
- Fichier :
- 120 - Anneaux ZnZ. Applications..pdf
2016 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications
Plan de Promo ENSL 2016
- Auteur :
Promo ENSL 2016
- Fichier :
- lecon_120_ensl_2016.pdf
2015 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.
Plan de Victor
- Auteur :
Victor
- Fichier :
- 120.pdf
Retours d'oraux :
2018 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.
2018 Retour anonyme (Algèbre)
- Leçon choisie :
120 : Anneaux $Z/nZ$. Applications.
- Autre leçon :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
- Développement choisi : (par le jury)
Théorème de Dirichlet faible
- Autre(s) développement(s) proposé(s):
Pas de réponse fournie.
- Liste des références utilisées pour le plan :
Pas de réponse fournie.
- Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions sur le plan. Le niveau des questions était assez bas à mon sens, mais il fallait être capable d'y répondre rapidement et sans erreur.
Question : Calculer le 6-ème polynôme cyclothymique.
Question : Questions sur l'indicatrice d'Euler, lien avec le théorème chinois
Question : Théorème de Wilson, démonstration
Question : Démonstration de RSA
Question : Autre application du théorème chinois ? Equations diophantiennes. Exemple ?
Question : Nombre d'automorphismes de Z/nZ ?...
- Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très sympathique qui ne m'a pas tenu rigueur d'avoir posé la division euclidienne de X^8-1 par X^4+1.
- L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Aucune surprise particulière, si ce n'est la préparation qui se fait dans un milieu assez bruyant et dense.
- Note obtenue :
13
Références utilisées dans les versions de cette leçon :
Algèbre pour la licence 3, Risler (utilisée dans 8 versions au total)
Éléments de théorie des groupes, Calais (utilisée dans 13 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 44 versions au total)
Algèbre, Gourdon (utilisée dans 270 versions au total)
Cours d'algèbre, Perrin (utilisée dans 312 versions au total)
Cours d'arithmétique, Serre (utilisée dans 12 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 122 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 13 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre, Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Introduction à la théorie des nombres, De Koninek, Mercier (utilisée dans 2 versions au total)
Algèbre et géométrie, Combes (utilisée dans 28 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 322 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 50 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Fondamentaux d'Algèbre et d'Arithmétique, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 3 versions au total)
Invitation à l'algèbre, Alain Jeanneret et Daniel Lines (utilisée dans 7 versions au total)
Algèbre MPSI: cours et 700 exercices corrigés, Monier (utilisée dans 1 versions au total)
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